Question

3．在△ABC中，BC=4，AC、AB边上的中线长之和等于9．
（1）求△ABC重心M的轨迹方程；
（2）求顶点A的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得△ABC重心M在以B、C为两个焦点的椭圆，由此能求出△ABC重心M的轨迹方程．
（2）利用代入法，即可求顶点A的轨迹方程．

解答 解：（1）如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系…（2分）
设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知|BM|=$\frac{2}{3}$|BD|，|CM|=$\frac{2}{3}$|CE|，于是|MB|+|MC|=$\frac{2}{3}$|BD|+$\frac{2}{3}$|CE|=6…（4分）
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．2a=6，2c=4，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，…（5分）
故所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）…（6分）
（2）设A（x，y），则M（$\frac{1}{3}$x，$\frac{1}{3}y$），代入$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0），
可得出顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{45}$=1（y≠0）…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查代入法，解题时要认真审题，注意椭圆定义的合理运用．