Question

12．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x²+y²=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及点的坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆椭圆方程；
（2）①当斜率不存在时，代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△OPQ的面积；当斜率不存在时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式，即基本不等式的性质，即可取得△OPQ的面积的最大值．

解答 解：（1）由题意，得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，
解得：a²=6，b²=3，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．．（3分）
（2）①若直线l斜率不存在，将x=$\sqrt{2}$，代入椭圆方程：解得：y=$\sqrt{2}$，
则△OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$×x×2y=2；…（5分）
②当斜率存在时，且k≠0，则直线l：y=kx+m，则有$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}⇒{m^2}=2（{{k^2}+1}）$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}⇒（{2{k^2}+1}）{x^2}+4mkx+2{m^2}-6=0}\right.$，
∴△=16k²m²-8（2k²+1）（m²-3）=8（4k²+1）
∴$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（{4{k^2}+1}）}}}{{2{k^2}+1}}$，
∴$S=\frac{1}{2}|{PQ}|•\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（{4{k^2}+1}）}}}{{2{k^2}+1}}•\sqrt{2}⇒{S^2}=\frac{{4（{1+{k^2}}）（{4{k^2}+1}）}}{{{{（{2{k^2}+1}）}^2}}}$，
令t=2k²+1≥1得：${S^2}=\frac{{2（{t+1}）（{2t-1}）}}{t^2}=-\frac{2}{t^2}+\frac{2}{t}+4=-2{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{9}{2}$，
从而当t=2时，△OPQ的面积取得最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．