Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=3ⁿ-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{b}_{n}}{2{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*）取倒数，由等差数列的通项公式即可得到所求{a_n}的通项公式；再由数列的递推式：当n=1时，b₁=T₁，当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，即可得到{b_n}的通项公式；
（2）求得$\frac{{b}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{2（3n-2）•{3}^{n-1}}{2}$=（3n-2）•3^n-1．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
取倒数可得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
则a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=3ⁿ-1（n∈N^*），
当n=1时，b₁=T₁=2，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1．对n=1也成立；
{b_n}的通项公式为b_n=2•3^n-1；
（2）$\frac{{b}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{2（3n-2）•{3}^{n-1}}{2}$=（3n-2）•3^n-1．
前n项和S_n=1•3⁰+4•3¹+7•3²+…+（3n-2）•3^n-1．
3S_n=1•3+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ．
相减可得-2S_n=1+3²+3³+…+3ⁿ-（3n-2）•3ⁿ
=1+$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-2）•3ⁿ．
化简可得S_n=$\frac{（6n-7）•{3}^{n}+7}{4}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用变形：取倒数，以及数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．