Question

5．已知首项为$\frac{3}{2}$的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对于数列$\left\{{A_n^{\;}}\right\}$，若存在一个区间M，均有A_i∈M，（i=1，2，3…），则称M为数列$\left\{{A_n^{\;}}\right\}$的“容值区间”，设${b_n}={S_n}+\frac{1}{S_n}$，试求数列{b_n}的“容值区间”长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，讨论n为偶数，n为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），
由-2S₂，S₃，4S₄成等差数列，
知-2S₂+4S₄=2S₃，
则$-2（{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}q}）+4（{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}q+\frac{3}{2}{q^2}+\frac{3}{2}{q^3}}）=2（{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}q+\frac{3}{2}{q^2}}）$，
化简得3q²+6q³=0，解得$q=-\frac{1}{2}$，
则${a_n}=\frac{3}{2}•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${S_n}=1-{（{-\frac{1}{2}}）^n}$，
当n为偶数时，${S_n}=1-{（{\frac{1}{2}}）^n}$，易知S_n随n增大而增大，
∴${S_n}∈[{\frac{3}{4}，1}）$，此时${b_n}={S_n}+\frac{1}{S_n}∈（{2，\frac{25}{12}}]$，
当n为奇数时，${S_n}=1+{（{\frac{1}{2}}）^n}$，易知S_n随n增大而减小，
∴${S_n}∈（{1，\frac{3}{2}}]$，此时${b_n}={S_n}+\frac{1}{S_n}∈（{2，\frac{13}{6}}]$，
又$\frac{13}{6}＞\frac{25}{12}$，∴${b_n}∈（{2，\frac{13}{6}}]$，
区间长度为$\frac{13}{6}$-2=$\frac{1}{6}$．
故数列{b_n}的“容值区间”长度的最小值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，考查新定义的理解和运用，以及分类讨论的思想方法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．