Question

10．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．
（Ⅰ）求证：点D为BC中点；
（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BC⊥平面POD得BC⊥OD，由AB⊥BC得OD∥AB，再由O为AC中点得点D为BC的中点；
（Ⅱ）作OF⊥PD于点F，证明OF⊥平面PBC，PO=OD，利用勾股定理PA²=PO²+OA²，列方程求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：由BC⊥平面POD，得BC⊥OD，
又AB⊥BC，则OD∥AB，
又O为AC中点，所以点D为BC的中点，…（6分）
（Ⅱ）如图，

过O作OF⊥PD于点F，
由OF⊥PD，OF⊥BC，PD∩BC=D，
∴OF⊥平面PBC，
又F为PD的中点，∴△POD为等腰三角形，
∴PO=OD，
不妨设PA=x，则AB=kx，PO=OD=$\frac{1}{2}$kx，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$kx，
在Rt△POA中，PA²=PO²+OA²，
代入解得k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）．

点评 本题考查了空间中的垂直与平行关系的应用问题，也考查了证明与计算问题，是综合性题目．