Question

20．已知点F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点，点B是短轴顶点，直线BF₂与椭圆C相交于另一点D．若△F₁BD是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合已知求出|DF₁|、|DF₂|，再由余弦定理列式求得答案．

解答 解：如图，由椭圆定义可得：|DF₁|+|DF₂|=2a，∵△F₁BD是等腰三角形，
∴|DF₁|=|DB|=|DF₂|+|BF₂|，解得|DF₂|=$\frac{1}{2}a$，|DF₁|=$\frac{3}{2}a$．
又|BF₁|=a，
∴cos∠F₁DF₂=$\frac{（\frac{3}{2}a）^{2}+（\frac{3}{2}a）^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{3}{2}a×\frac{3}{2}a}=\frac{7}{9}$，
又cos∠F₁DF₂=$\frac{（\frac{3}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-（2c）^{2}}{2×\frac{3}{2}a×\frac{1}{2}a}=\frac{7}{9}$，
∴$\frac{10}{4}{a}^{2}-4{c}^{2}=\frac{7}{6}{a}^{2}$，化简得：a²=3c²，得$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．