Question

10．设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，设数列{b_n}的前n项和T_n．若$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+…+\frac{1}{T_n}＜λ$对n∈N^*恒成立求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组，求出第二项，设出公比，利用方程组求解公比，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，判断数列是等差数列，然后求和，通过裂项法求解{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的和，从而求解λ的范围．

解答 解：（1）由已知得$：\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=7\\ \frac{{（{a_1}+3）+（{a_3}+4）}}{2}=3{a_2}.\end{array}\right.$
解得a₂=2．设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得${a_1}=\frac{2}{q}，{a_3}=2q$．
又S₃=7，可知$\frac{2}{q}+2+2q=7$，即2q²-5q+2=0，
解得${q_1}=2，{q_2}=\frac{1}{2}$．由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（1）得${a_{3n+1}}={2^{3n}}$，
∴${b_n}=ln{2^{3n}}=3nln2$，
又b_n+1-b_n=3ln2ⁿ
∴{b_n}是等差数列．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{n（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3ln2+3nln2）}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}ln2$，
故${T_n}=\frac{3n（n+1）}{2}ln2$．
$\frac{1}{T_n}=\frac{2}{3ln2}•\frac{1}{n（n+1）}=\frac{2}{3ln2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
所以$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}+…+\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{3ln2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{2}{3ln2}（1-\frac{1}{n+1}）$，
$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+…+\frac{1}{T_n}＜\frac{2}{3ln2}$，
所以$λ≥\frac{2}{3ln2}$．

点评 本题考查等比数列以及等差数列的综合应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．