Question

1．已知点P是函数y=x-2lnx图象上一点，点Q是直线x+y+1=0上的动点，则PQ的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 当曲线上过点P的切线和直线x+y+1=0平行时，点P到直线x+y+1=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于-1，可得切点的坐标，此切点到直线x+y+1=0的距离即为所求．

解答 解：当过点P的切线和直线x+y+1=0平行时，点P到直线x+y+1=0的距离最小．
由题意可得，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=-1，
∴x=1，
∴f（1）=1，
∴曲线y=x-2lnx和直线x+y+1=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线x+y+1=0的距离d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴P，Q两点间的距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．