Question

19．在四棱锥P-ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G为PC的中点，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2$\sqrt{3}$，F，M分别为BC，EG上一点，且AF∥CD．
（1）求$\frac{ME}{MG}$的值，使得CM∥平面AFG；
（2）过点E作平面PCD的垂线，垂足为H，求四棱锥H-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意求出∠BAC的值，再由余弦定理可得BC，又BC=DE，则DE值可得，当$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$时，AG∥DM，又AF∥CD，AF∩AG=A，则平面CDM∥平面AFG，CM?平面CDM，可得CM∥平面AFG；
（2）过E作EH⊥PD，垂足为H，则△APD∽△EHD，由PA=AD=2，得△APD为等腰直角三角形，则△EHD也为等腰直角三角形，结合已知条件，可得CD⊥平面PAE，则EH⊥平面PCD，过H作DE的垂线，垂足为O，则HO⊥底面ABCE，可得HO的值，进一步求出四边形ABCD的面积，则四棱锥H-ABCD的体积可求．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC为直角，
tan∠CAD=$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，则∠CAD=60°，
又AC平分∠BAD，∴∠BAC=60°，
∵AB=3，AC=4，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{13}$，则DE=$\sqrt{13}$．
当$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$时，AG∥DM，
又AF∥CD，AF∩AG=A，∴平面CDM∥平面AFG．
∵CM?平面CDM，∴CM∥平面AFG；
（2）过E作EH⊥PD，垂足为H，则△APD∽△EHD，
由PA=AD=2，得△APD为等腰直角三角形，则△EHD也为等腰直角三角形，
∵PA⊥底面ABCE，∴AP⊥CD，
∵CD⊥AE，PA∩AE=A，
∴CD⊥平面PAE，则CD⊥EH，
则EH⊥平面PCD，
过H作DE的垂线，垂足为O，则HO⊥底面ABCE，
可得HO=$\frac{1}{2}DE=\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}+\frac{1}{2}×3×4×sin60°=5\sqrt{3}$．
∴${V}_{H-ABCD}=\frac{1}{3}×5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{5\sqrt{39}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力以及计算能力，是中档题．