Question

4．已知曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁和曲线C₂与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）利用极径的意义，求|AB|的值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}$（θ为参数），
普通方程为x²+（y-1）²=1，
曲线C₂的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），即ρ=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ，
直角坐标方程为x²+y²=2y+2$\sqrt{3}$x；
（2）曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2sinθ
将θ=$\frac{π}{6}$代入C₁的极坐标方程得ρ₁=2，
将θ=$\frac{π}{6}$代入C₂的极坐标方程得ρ₂=4，
∴|AB|=ρ₂-ρ₁=3．--------------------------（10分）

点评 本题考查三种方程的转化方法，考查极径的意义，属于中档题．