Question

6．计算：$\sqrt{2}-1≈0.414，\sqrt{3}-\sqrt{2}$≈0.318；∴$\sqrt{2}-1＞\sqrt{3}-\sqrt{2}$；又计算：$\sqrt{5}-2≈0.236，\sqrt{6}-\sqrt{5}≈0.213，\sqrt{7}-\sqrt{6}$≈0.196，∴$\sqrt{5}-2＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$，$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞\sqrt{7}-\sqrt{6}$．
（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题．
（2）判断该命题的真假，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据所给结论，可写出一个一般性的命题．
（2）利用综合法证明命题是真命题．

解答 解：（1）一般性的命题n是正整数，则$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n+1}$．
（2）命题是真命题．
∵$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n+1}$=$\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$，
∴$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n+1}$．

点评 本题考查归纳推理，考查综合法的运用，属于基础题．