Question

12．已知函数f（x）=lnx-x²与g（x）=（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1-ln2）
• B． （-∞，1-ln2]
• C． （1-ln2，+∞）
• D． [1-ln2，+∞）

Answer 1

分析 由已知可得：g（x）=（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m的图象与函数y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）²的图象有交点，即m=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$有解，利用换元法和导数法，求出函数y=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$的值域，可得答案．

解答 解：由已知可得：g（x）=（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m的图象
与函数y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）²的图象有交点，
即（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m=-ln（2-x）+（2-x）²有解，
即m=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$有解，
令t=2-x，y=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$=lnt+$\frac{1}{2t}$，
则y′=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2{t}^{2}}$=$\frac{2t-1}{2{t}^{2}}$，
当t∈（0，$\frac{1}{2}$）时，y′＜0，函数为减函数；
当t∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，y′＞0，函数为增函数；
故当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值ln$\frac{1}{2}$+1=1-ln2，无最大值，
故m∈[1-ln2，+∞），
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的对称变换，函数图象，导数法求函数的最值和值域，难度中档．