Question

8．已知函数y=$\sqrt{a•{9}^{x}+{3}^{x}+1}$的定义域为（-∞，1]，求a的值．

Answer 1

分析 由函数y=$\sqrt{a•{9}^{x}+{3}^{x}+1}$的定义域为（-∞，1]，可得a•9^x+3^x+1≥0的解集为（-∞，1]，当a=0时，有3^x+1≥0恒成立，不合题意；当a≠0时，由x∈（-∞，1]，得t=3^x∈（0，3]．即at²+t+1≥0的解集为（0，3]．然后列关于a的式子求解．

解答 解：∵函数y=$\sqrt{a•{9}^{x}+{3}^{x}+1}$的定义域为（-∞，1]，
∴由a•9^x+3^x+1≥0，得
当a=0时，有3^x+1≥0恒成立，不合题意；
当a≠0时，∵x∈（-∞，1]，∴t=3^x∈（0，3]．
即at²+t+1≥0的解集为（0，3]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{9a+3+1=0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{4}{9}$．
综上，a的值为-$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题也是易错题．