Question

16．如图，长为2$\sqrt{3}$，宽为$\frac{1}{2}$的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1恰好过C、D两点．
（1）求椭圆M的标准方程
（2）若直线l：y=kx+3与椭圆M相交于P、Q两点，求S_△POQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）设B（c，0），推出C（c，$\frac{b^2}{a}$）利用已知条件列出方程组即可求解M的方程．
（2）将l：y=kx+3代入 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，利用韦达定理以及弦长公式，点到平面的距离的距离，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．

解答 （1）设B（c，0），由条件知，C（c，$\frac{b^2}{a}$）．（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{b^2}{a}=\frac{1}{2}\\ c=\sqrt{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=（3分）
故M的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．（4分）
（2）将l：y=kx+3代入 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1+4k²）x²+24kx+32=0．（5分）
当△=64（k²-2）＞0，即k²＞2时，（6分）
从而|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{64（{k^2}-2）}}}{{4{k^2}+1}}$．（7分）
又点O到直线PQ的距离d=$\frac{3}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，（8分）
所以△POQ的面积S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$\frac{{12\sqrt{{k^2}-2}}}{{4{k^2}+1}}$．（9分）
设$\sqrt{{k^2}-2}$=t，则t＞0，S_△OPQ=$\frac{12t}{{4{t^2}+9}}=\frac{12}{{4t+\frac{9}{t}}}≤\frac{12}{{2\sqrt{4t•\frac{9}{t}}}}=1$．
当且仅当t=$\frac{3}{2}$时等号成立，且满足△＞0，
所以，△POQ的面积最大值为1（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．