Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+$\sqrt{2}$y-3=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）动直线l；y=kx+m与椭圆C相切，分别过点F₁、F₂作直线垂直于l，垂足分别为D、E，求|F₁D|+|F₂E|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式求得b的值，由a²=b²+c²，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；
（2）过O做OP⊥l垂足为P，利用中位线定理2丨OP丨=|F₁D|+|F₂E|，则P位于短轴的顶点时，丨OP丨最小，即可求得|F₁D|+|F₂E|的最小值．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，①
由圆x²+y²=b²与直线x+$\sqrt{2}$y-3=0相切，则圆心到直线x+$\sqrt{2}$y-3=0的距离等于半径d，
则b=$\frac{丨0-0-3丨}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，②
由①②可知：a=2，c=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意得过：O做OP⊥l垂足为P，
∴2丨OP丨=|F₁D|+|F₂E|，
当丨OP丨=b时，丨OP丨最小
此时2丨OP丨=2$\sqrt{3}$
|F₁D|+|F₂E|的最小值为2$\sqrt{3}$，
综上所述，|F₁D|+|F₂E|的最小值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查数形结合思想，属于中档题．