Question

14．在如图所示的多面体ABCDE中，四边形ABCF为平行四边形，F为DE的中点，△BCE为等腰直角三角形，BE为斜边，△BDE为正三角形，CD=CE=2．
（1）证明：CD⊥BE；
（2）求四面体ABDE的体积．

Answer 1

分析 （1）由△BCE为等腰直角三角形，BE为斜边，可得CB=CE=2，BE=2$\sqrt{2}$，从而求得BD=2$\sqrt{2}$，然后利用勾股定理可得CD⊥BC，同理，可得CD⊥CE．再由线面垂直的判定可得CD⊥平面BCE，进一步得到CD⊥BE；
（2）又（1）可得BC⊥平面DCE，由四边形ABCF为平行四边形，可得AF⊥平面DCE，得到AF⊥DE，再由CD=CE，F为DE的中点，得CF⊥DE，进一步得到DE⊥平面ABCF．然后利用V_A-BDE=V_D-ABF+V_E-ABF=$\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•DE$求得四面体ABDE的体积．

解答 （1）证明：∵△BCE为等腰直角三角形，BE为斜边，∴CB=CE=2，BE=2$\sqrt{2}$．
∵△BDE为正三角形，∴BD=2$\sqrt{2}$，
在三角形BDC中，BC²+CD²=BD²，∴CD⊥BC，
同理，可得CD⊥CE．
∵BC∩CE=C，∴CD⊥平面BCE，
又BE?平面BCE，∴CD⊥BE；
（2）又（1）可得BC⊥平面DCE，
∵四边形ABCF为平行四边形，∴AF⊥平面DCE，则AF⊥DE，
又CD=CE，F为DE的中点，∴CF⊥DE，
又CF∩AF=F，∴DE⊥平面ABCF．
连接BF，则V_A-BDE=V_D-ABF+V_E-ABF=$\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•DE$
=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•\sqrt{2}•2\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．
∴四面体ABDE的体积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．