Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=6，a_n+1-a_n=2n，记c_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，且存在正整数M，使得对一切n∈N^*，c_n≥M恒成立，则M最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=6，a_n+1-a_n=2n，可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，再利用数列（函数）的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=6，a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+6
=2×$\frac{（n-1）×n}{2}$+6=n²-n+6．
c_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{6}{n}$-1，可得当n=2时，其最小值为4．
且存在正整数M，使得对一切n∈N^*，c_n≥M恒成立，则M最大值为4．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．