Question

19．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结论：
①BC∥平面PDF；
②DF⊥平面PAE；
③平面PDF⊥平面ABC．
其中不成立的结论是③．（写出所有不成立结论的序号）

Answer 1

分析 正四面体P-ABC即正三棱锥P-ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项②、③中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得判定①．

解答 解：对于①，由DF∥BC，可得BC∥平面PDF，故①正确．
对于②，若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，
故DF⊥平面PAE，故②正确．
对于③，由DF⊥平面PAE可得，AE⊥DF，且AE垂直AE与DF交点和P点边线，
从而平面PDF⊥平面ABC，平面PDF∩平面PDE=PD，故③错误．
故答案为：③．

点评 本题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．