Question

4．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个向量，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，若在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，D为BC中点，则AD的长为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，再由向量的中点表示，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个向量，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即为$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{a}$²=-1，
在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，D为BC中点，
则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
可得$\overrightarrow{AD}$²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{4}$（1+4-2×1）=$\frac{3}{4}$，
可得AD的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的中点表示，考查运算能力，属于中档题．