Question

13．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则a的取值范围是0＜a≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，函数f（x）在其定义域内是单调减函数，故函数在每一段上是减函数，在整个定义域内也是减函数，故当x＜1时，0＜a＜1，当x≥1时，a-3＜0，且还有a≥（a-3）+4a，解之即可求出a的取值范围

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴f（x）在定义域R上为单调递减函数，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$，
∴当x＜1时，0＜a＜1，
当x≥1时，a-3＜0，且a≥（a-3）×1+4a，
即 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a-3＜0}\\{a≥（a-3）×1+4a}\end{array}\right.$，
解得，0＜a≤$\frac{3}{4}$，
∴a的取值范围是0＜a≤$\frac{3}{4}$，
故答案为：0＜a≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查单调函数的定义，以及指数函数、一次函数的单调性，同时考查了分段函数单调性的处理方法，一般利用数形结合的数学思想方法，分段函数问题还体现了分类讨论的数学思想．属于中档题．