Question

3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=30°且AB=4，求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得AE⊥BB₁，又E是正三角形ABC的边BC的中点，求出AE⊥BC，又BC∩BB₁=B，则AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，即可证得平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）由△ABC是正三角形，可得CD⊥AB，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得CD⊥AA₁，又CD⊥平面A₁ABB₁，则CD⊥A₁D，由题意可求出A₁D，在Rt△AA₁D中，求出AA₁，进一步求出FC，则三棱锥F-AEC的体积可求．

解答 （1）证明：如图，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的边BC的中点，∴AE⊥BC，又BC∩BB₁=B，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）解：∵△ABC是正三角形，∴CD⊥AB，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面A₁ABB₁，则CD⊥A₁D，
由题意可知，∠CA₁D=30°，∴${A}_{1}D=\sqrt{3}CD=\frac{3}{2}AB=6$．
在Rt△AA₁D中，$A{A}_{1}=\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}=4\sqrt{2}$，∴$FC=\frac{1}{2}A{A}_{1}=2\sqrt{2}$．
故三棱锥F-AEC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了两平面垂直的判定，考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力以及计算能力，是中档题．