Question

6．已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x²+y²=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{3}$，点P为圆C上异于A、B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）求证：|AN|•|BM|为定值；
（3）当$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最大值时，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{3}$，且r=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离d=$\frac{|7a+5|}{5}$=$\sqrt{{r}^{2}-3}$=$\sqrt{2{a}^{2}-4a+1}$，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，即可证明结论；
（3）利用向量的数量积公式，结合三角函数知识，求出M，N的坐标，即可得出结论．

解答 （1）解：知点C在线段AB的中垂线y=x上，故可设C（a，a），圆C的半径为r．
∵直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{3}$，且r=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，
∴C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离d=$\frac{|7a+5|}{5}$=$\sqrt{{r}^{2}-3}$=$\sqrt{2{a}^{2}-4a+1}$，
∴a=0，或a=170．
又圆C的圆心在圆x²+y²=2的内部，∴a=0，圆C的方程x²+y²=4．
（2）证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|•|BM|=8．
当直线PA与直线PB的斜率存在时，
设P（x₀，y₀），直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$x+2，令y=0得M（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0）．
直线PB的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0得N（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）．
∴|AN|•|BM|=（2-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）（2-$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$）=4+4×$\frac{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}}{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}}$=8，
故|AN|•|BM|为定值为8；
（3）解：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-x₀，2-y₀）•（2-x₀，-y₀）=x₀²+y₀²-2x₀-2y₀=4-2（x₀+y₀），
设P（2cosα，2sinα），则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4-4$\sqrt{2}$sin（α+45°），
∴sin（α+45°）=-1时$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最大值4+4$\sqrt{2}$，此时x₀=-$\sqrt{2}$，y₀=-$\sqrt{2}$，
∴M（-2$\sqrt{2}$+2，0），N（0，-2$\sqrt{2}$+2），
∴|MN|=4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．