Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，且满足2S_n=（n+1）a_n，（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=3ⁿ-λa_n²，若数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，将n换为n+1，两式相减可得na_n+1=（n+1）a_n，整理变形，即可得到所求通项公式；
（2）数列{b_n}为递增数列，作差可得2•3ⁿ-λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造${c_n}=\frac{{2•{3^n}}}{2n+1}$，判断单调性，即可所求范围．

解答 解：（1）∵2S_n=（n+1）a_n，
∴2S_n+1=（n+2）a_n+1，
两式相减可得2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
即na_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}$，
∴$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}=…=\frac{a_1}{1}=1$，
∴a_n=n（n∈N*）．
（2）${b_n}={3^n}-λ{n^2}$，
.${b_{n+1}}-{b_n}={3^{n+1}}-λ{（{n+1}）^2}$-（3ⁿ-λn²）=2•3ⁿ-λ（2n+1）．
∵数列{b_n}为递增数列，
∴2•3ⁿ-λ（2n+1）＞0，即$λ＜\frac{{2•{3^n}}}{2n+1}$．
令${c_n}=\frac{{2•{3^n}}}{2n+1}$，则$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=\frac{{2•{3^{n+1}}}}{2n+3}•\frac{2n+1}{{2•{3^n}}}=\frac{6n+3}{2n+1}＞1$．
∴{c_n}为递增数列，
∴λ＜c₁=2，
即λ的取值范围为（-∞，2）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．