Question

8．已知函数f（x）=|x-a|
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数x，使不等式f（x）+f（x+5）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为|x-a|≤3，a-3≤x≤a+3．再根据不等f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，从而求得a的值；
（2）由题意可得g（x）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，从而求得m的范围．

解答 解：（1）由题意，|x-a|≤3，∴a-3≤x≤a+3，
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，∴a=2；
（2）设g（x）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，当且仅当-3≤x≤2时，等号成立
∵存在实数x，使不等式f（x）+f（x+5）＜m成立，
∴m＞5．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．