Question

9．设曲线C：f（x）=x³-ax+b（a，b∈R）．
（1）若函数g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x存在单调递减区间，求a的取值范围（f′（x）为f（x）的导函数）
（2）若过曲线C外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有三条，求a，b满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x³-ax+b（a，b∈R），我们易求出函数的导函数f′（x），进而给出函数g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x的解析式，若函数g（x）存调递减区间，则g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，构造函数h（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，求出其最小值，即可得到答案．
（2）由（1）中导函数f′（x）的解析式，我们设出切点坐标，则可以得到直线的切线方程，由于切线过A点，将A点坐标代入即可得到关于参数的方程，又由已知中过点A（1，0）的曲线C的切线恰有三条，则对应方程恰有三个不同的根，构造函数后，可以转化为函数恰有三个零点，结合三次函数的图象性质，判断出函数的极小值小于0，极大值大于0，构造关于参数的方程组，解方程组，即可得到答案．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-a，
∴g（x）=lnx-$\frac{a}{6}$[f′（x）+a]-2x=lnx-$\frac{a}{2}$x²-2x（x＞0）
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2
若使g（x） 存在单调减区间，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，
即a＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上有解，
设h（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
则h（x）的最小值为-1，
若a＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上有解，
则a＞-1；
（2）∵f′（x）=3x²-a，
过点A（1，0）作曲线C的切线，设切点坐标为（c，f（c））
则切线方程为 y-（c³-ac+b）=（3c²-a）（x-a）
即y=（3c²-a）x-2c³+b
又∵切线过A（1，0）点
则（3c²-a）-2c³+b=0
即-2c³+3c²-a+b=0
又由过点A（1，0）的曲线C的切线恰有三条，
∴方程-2c³+3c²-a+b=0恰好有三个根，
令h（c）=-2c³+3c²-a+b
则h′（c）=-6c²+6c
则函数h（c）=-2c³+3c²-a+b在c=0时取极小值，在c=1时取极大值，
若方程-2c³+3c²-a+b=0恰好有三个根，
则h（0）=-a+b＜0，h（1）=1-a+b＞0
即a，b满足的关系式为0＜a-b＜1．

点评 本题考查的知识点是利用民数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．