Question

12．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出bc的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，c=acosB+bsinA，
由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，
∵sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，
化简得，sinBcosA=sinBsinA，
∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，
由0＜A＜π得A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵a=2$\sqrt{2}$，A=$\frac{π}{4}$，∴由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA，则$8={b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc$，
即$8≥2bc-\sqrt{2}bc$，解得bc≤$4（2+\sqrt{2}）$，当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{2}}{4}bc≤2\sqrt{2}+2$，
∴△ABC的面积的最大值是$2\sqrt{2}+2$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式、两角和的正弦函数等，以及不等式在求出最值中的应用，考查化简、变形能力．