Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（-∞，-1）∪（0，1），
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，设x＞0，得-x＜0，可求出f（x）=e^-x（x-1）判定①正确；
由f（x）解析式求出-1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；
由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；
分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，
根据单调性求f（x）的值域，可得?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，判定④正确．

解答 解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），∴f（x）=e^-x（x-1），①正确；
对于②，∵f（-1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，
∴f（x）有3个零点，②错误；
对于③，x＜0时，f（x）=e^x（x+1），易得x＜-1时，f（x）＜0；
x＞0时，f（x）=e^-x（x-1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；
∴f（x）＜0的解集为（-∞，-1）∪（0，1）；③正确；
对于④，x＜0时，f′（x）=e^x（x+2），得
x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（-2，0）上单调递增；
∴x=-2时，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
x＞0时，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x=2时，f（x）取最大值e^-2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域为（-1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；④正确；
综上，正确的命题是①③④，共3个．
故选：B．

点评 本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．