Question

7．如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥PM；
（2）若∠APD=90°，PA=$\sqrt{2}$，求点A到平面PBM的距离．

Answer 1

分析 （1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，证明：BD⊥平面PEM，即可证明BD⊥PM；
（2）利用等体积方法，求点A到平面PBM的距离．

解答 （1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，M分别是AD，DC的中点，
∴EM∥AC，
∴EM⊥BD．
∵PA=AD，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BD，
∵EM∩PE=E，
∴BD⊥平面PEM，
∵PM?平面PEM，
∴BD⊥PM．
（2）解：∵PA=PD=$\sqrt{2}$，∠APD=90°，∠DAB=60°，
∴AD=AB=BD=2，PE=1，EM=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$，
∴PM=PB=$\sqrt{1+3}$=2．
等边三角形DBC中，BM=$\sqrt{3}$，∴S_△PBM=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，S_△ABM=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
设三棱锥A-PBM的高为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{39}}{4}h=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•1$，
∴h=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
∴点A到平面PBM的距离为$\frac{4\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查等体积方法的运用，属于中档题．