Question

15．已知函数$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）单调递减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角，A，B，C的对边，$a=2\sqrt{3}，c=4，若f（A）$是f（x）在（0，π）上的最大值，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可可得单调减区间；
（2）由题意可得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得b=2，代值计算可．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$．
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
当x∈（0，π）时，-$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
结合正弦函数的图象，当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值，
∵f（A）是f（x）在（0，π）上的最大值，
∴A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即12=b²+16-2×4b×$\frac{1}{2}$，
解得b=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×4sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，涉及两角和与差的三角函数公式余弦定理以及三角形的面积，属中档题．