Question

4．已知函数f（x）=xlnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当a≥1，f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（1），证明结论即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=xlnx，（x＞0），
f′（x）=lnx+1，f′（1）=1，f（1）=0，
故切线方程是：y=x-1；
即x-y-1=0．
（2）证明：f（x）=xlnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，f″（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2a}{{x}^{3}}$＞0，
故f′（x）在（0，+∞）递增，
而f′（1）=1-a≤0，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故 f（x）≥f（1）=a≥1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．