Question

14．已成椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．其右顶点与上顶点的距离为$\sqrt{5}$，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（$\frac{2}{5}$，0），当QM⊥AB时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．其右顶点与上顶点的距离为$\sqrt{5}$，列出方程组，求出a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，直线方程为x=0；若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+12kx+6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
其右顶点与上顶点的距离为$\sqrt{5}$，
∴由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=5}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，∴方程为x=0；
②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+12kx+6=0，
△=72k²-48＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-12k}{2+3{k}^{2}}$，
设M（x₀，y₀），则${x}_{0}=\frac{-6k}{2+3{k}^{2}}$，${y}_{0}=k•\frac{-6k}{2+3{k}^{2}}+2=\frac{4}{2+3{k}^{2}}$，
由QM⊥AB，知$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\frac{2}{5}}•k=-1$，化简得3k²+5k+2=0，
解得k=-1或k=-$\frac{2}{3}$，将结果代入△=72k²-48＞0验证，舍掉k=-$\frac{2}{3}$，
此时，直线l的方程为x+y-2=0，
综上所述，直线l的方程为x=0或x+y-2=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用．