Question

9．如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC=2，CE=1，平面ABC⊥平面ACEF．
（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．

Answer 1

分析 （1）分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，推导出AC⊥BO，AC⊥OM，从而AC⊥面BOM，由此能证明BM⊥AC．
（2）由OA，OB，OM两两互相垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，由此能求出平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）M为线段EF的中点，理由如下：
分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，
在等边三角形ABC中，AC⊥BO，
又OM为矩形ACEF的中位线，AC⊥OM，
而OM∩OB=O，
∴AC⊥面BOM，∴BM⊥AC．
（2）由（1）知OA，OB，OM两两互相垂直，
建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
AC=2，CE=1，三角形ABC为等边三角形，$O（{0，0，0}），B（{0，\sqrt{3}，0}），C（{-1，0，0}），E（{-1，0，1}），A（{1，0，0}），F（{1，0，1}）$．
∴$\overrightarrow{CB}=（{1，\sqrt{3}，0}），\overrightarrow{CE}=（{0，0，1}）$，
设面BCE的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{z=0}\end{array}}\right.$，
则面BCE的一个法向量$\overrightarrow{n_0}=（{\sqrt{3}，-1，0}）$，
又M是线段EF的中点，
则M的坐标为M（0，0，1），
∴$\overrightarrow{AM}=（{-1，0，1}）$，且$\overrightarrow{AB}=（{-1，\sqrt{3}，0}）$，
又设面ABM的法向量$\overrightarrow m=（{a，b，c}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-a+c=0}\\{-a+\sqrt{3}b=0}\end{array}}\right.$，
取$a=\sqrt{3}$，则$b=1，c=\sqrt{3}$，
面ABM的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．