Question

17．已知数列{a_n}、{b_n}满足b_n=log₂a_n，n∈N₊，其中{b_n}是等差数列，且a₉a₂₀₀₉=4，则b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₇=（　　）

• A． 2016
• B． 2017
• C． log₂2017
• D． $\frac{2017}{2}$

Answer 1

分析 由已知得a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$，计算$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$可判断{a_n}为等比数列，于是a₁a₂₀₁₇=a₉a₂₀₀₉=4，从而得出b₁+b₂₀₁₇=2，代入等差数列的求和公式即可．

解答 解：设{b_n}的公差为d，
∵b_n=log₂a_n，∴a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=2${\;}^{{b}_{n+1}-{b}_{n}}$=2^d．
∴{a_n}是等比数列，
∴a₁a₂₀₁₇=a₉a₂₀₀₉=4，
即2${\;}^{{b}_{1}}$•2${\;}^{{b}_{2017}}$=2${\;}^{{b}_{1}+{b}_{2017}}$=4，
∴b₁+b₂₀₁₇=2，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₇=$\frac{{b}_{1}+{b}_{2017}}{2}×2017$=2017．
故选B．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，前n项和公式，属于中档题．