Question

5．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足$\overrightarrow{PA}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记$\frac{S_1}{S}={λ_1}$，$\frac{S_2}{S}={λ_2}$，$\frac{S_3}{S}={λ_3}$，则λ₂•λ₃取最大值时，3x+y的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根据中位线的性质得出${λ}_{1}=\frac{1}{2}$，${λ}_{2}+{λ}_{3}=\frac{1}{2}$，利用基本不等式得出λ₂•λ₃取最大值时P为EF的中点，用$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$表示出$\overrightarrow{PA}$即可得出x，y的值．

解答 解：由题意可知：λ₁+λ₂+λ₃=1，
∵P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，
∴${λ}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴${λ}_{2}+{λ}_{3}=\frac{1}{2}$，
∴λ₂λ₃≤（$\frac{{λ}_{2}+{λ}_{3}}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
当且仅当λ₂=λ₃=$\frac{1}{4}$时取等号，
∴λ₂•λ₃取最大值时P为EF的中点，
延长AP交BC于M，则M为BC的中点，
∴PA=PM，
∴$\overrightarrow{PA}$=-$\overrightarrow{PM}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$），
又∵$\overrightarrow{PA}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，
∴x=y=$\frac{1}{2}$，
∴3x+y=2．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．