Question

1．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），且一个焦点为F₁（-1，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若PA、PB、PC为椭圆E的三条弦，PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，且|PM|=|PN|，PC∥AB，求直线PC的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点P（1，$\frac{3}{2}$），且一个焦点为F₁（-1，0），列出方程组，求出a=2，b=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设PA：y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+4k（-2k+3）x+4k²-12k-3=0，由此利用韦过定理，求出${x}_{A}=\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_A=$\frac{-12{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}+\frac{3}{2}$，用-k代替k，得${x}_{B}=\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{B}=\frac{-12{k}^{2}+6k}{3+4{k}^{2}}+\frac{3}{2}$，从而得到k_AB=$\frac{1}{2}$，再由PC∥AB，能求出直线PC的方程．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），且一个焦点为F₁（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，又a＞b＞0，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由题意知直线PA的斜率存在，
设PA：y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+4k（-2k+3）x+4k²-12k-3=0，
∴${x}_{P}•{x}_{A}=1×{x}_{A}=\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{A}=\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{A}=k（{x}_{A}-1）+\frac{3}{2}$=$\frac{-12{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}+\frac{3}{2}$，
∵|PM|=|PN|，∴直线PB的斜率为-k，
用-k代替k，得${x}_{B}=\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{B}=\frac{-12{k}^{2}+6k}{3+4{k}^{2}}+\frac{3}{2}$，
${k}_{AB}=\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{\frac{-12{k}^{2}+6k}{3+4{k}^{2}}+\frac{3}{2}-\frac{-12{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}-\frac{3}{2}}{\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
又∵PC∥AB，∴直线PC的方程为y-$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+2=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理等知识点的合理运用．