Question

10．若（1+2x）ⁿ（n∈N^*）二项式展开式中的各项系数之和为a_n，其二项式系数之和为b_n，则$\lim_{n→∞}\frac{{{b_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_{n+1}}+{b_n}}}$=$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令x=1，可得二项式展开式中的各项系数之和为a_n=3ⁿ．又二项式系数之和为b_n=2ⁿ．利用极限的运算性质即可得出．

解答 解：令x=1，可得二项式展开式中的各项系数之和为a_n=3ⁿ．
又二项式系数之和为b_n=2ⁿ．
∴$\lim_{n→∞}\frac{{{b_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_{n+1}}+{b_n}}}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{2}^{n+1}-{3}^{n}}{{3}^{n+1}+{2}^{n}}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{2×（\frac{2}{3}）^{n}-1}{3+（\frac{2}{3}）^{n}}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的性质、极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．