Question

9．已知双曲线方程为16x²-9y²=144．
（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；
（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线C的方程．

Answer 1

分析 （1）将双曲线方程化为标准方程，求出a，b，c，即可得到所求实轴长、虚轴长、离心率；
（2）求出双曲线的中心坐标和左顶点坐标，设抛物线C的方程为y²=-2px（p＞0），由焦点坐标，可得p的方程，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）双曲线方程为16x²-9y²=144，
即为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得a=3，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
（2）抛物线C的顶点是该双曲线的中心（0，0），
而焦点是其左顶点（-3，0），
设抛物线C的方程为y²=-2px（p＞0），
由-$\frac{p}{2}$=-3，解得p=6．
则抛物线C的方程为y²=-12x．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴、虚轴长和离心率，考查抛物线的方程和性质，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．