Question

1．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单凋区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的图象的切线，求a+b的最小值；
（3）求证：$2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}$＞0．

Answer 1

分析 （1）求得F（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）设切点坐标为（x₀，lnx₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$），求得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b关于x₀的关系式，构造函数，求出导数和单调区间，即可得到所求最小值；
（3）方法一、令$G（x）=lnx-\frac{1}{x}-2x+3$，结合（1）可得$lnx-\frac{1}{x}≤2x-3$．再由e^x≥x+1，可得$2{e^{x-\frac{5}{2}}}≥2[{（{x-\frac{5}{2}}）+1}]$=2x-3（x＞0），即可得证；
方法二、令$P（x）=2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}$，求出导数，求出单调区间，运用零点存在定理，求得极值点的范围，运用单调性，即可得证．

解答 解：（1）a=2时，F（x）=f（x）-g（x）=$lnx-\frac{1}{x}-2x-b$，
$F'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-2（{x＞0}）$，$F'（x）=\frac{{x+1-2{x^2}}}{x^2}=\frac{{（{1-x}）（{1+2x}）}}{x^2}$，
解F'（x）＞0得0＜x＜1，解F'（x）＜0得x＞1，
∴F（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）设切点坐标为（x₀，lnx₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$），$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$，
切线斜率$a=f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}$，又$ln{x_0}-\frac{1}{x_0}=a{x_0}+b$，
∴$b=ln{x_0}-\frac{2}{x_0}-1$，∴$a+b=ln{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}-\frac{1}{x_0}-1$，
令$h（x）=lnx+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-1（{x＞0}）$，
$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{{x^2}+x-2}}{x^3}$=$\frac{{（{x+2}）（{x-1}）}}{x^3}$，
解h'（x）＜0得0＜x＜1，解h'（x）＞0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）≥h（1）=-1，∴a+b的最小值为-1；
（3）证法一：令$G（x）=lnx-\frac{1}{x}-2x+3$，
由（1）知（G（x））_max=G（1）=0，∴$lnx-\frac{1}{x}≤2x-3$．
又由y=e^x-x-1，y′=e^x-1，可得函数y在（0，+∞）递增，在（-∞，0）递减，
即有函数y有最小值0，即e^x≥x+1，
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}≥2[{（{x-\frac{5}{2}}）+1}]$=2x-3（x＞0）
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}≥2x-3≥lnx-\frac{1}{x}$，（两个等号不会同时成立）
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}＞0$．
法二：令$P（x）=2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}$，$P'（x）=2{e^{x-\frac{5}{2}}}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$
显然P'（x）在（0，+∞）上递增，P'（1）＜0，P'（2）＞0
∴P'（x）=0在（0，+∞）上有唯一实根x^*，且x^*∈（1，2），
$2{e^{x*-\frac{5}{2}}}=\frac{1}{x^*}+$$\frac{1}{{{{（{x^*}）}^2}}}$，
∴P（x）在（0，x^*）上递减，在（x^*，+∞）上递增，
∴P（x）≥P（x^*）=$2{e^{{x^*}-\frac{5}{2}}}-ln{x^*}+\frac{1}{x^*}$
=$\frac{2}{x^*}+\frac{1}{{{{（{x^*}）}^2}}}-ln{x^*}$$＞\frac{2}{2}+\frac{1}{4}-ln2＞0$
∴$2{e^{x-\frac{5}{2}}}-lnx+\frac{1}{x}＞0$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法和函数的单调性，以及转化思想的运用，考查变形能力及函数零点存在定理的运用，属于难题．