Question

11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+4，x≤0}\\{{2}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若f[f（a）]＞f[f（a）+1]，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（-\frac{5}{2}，-2]$
• B． $[-\frac{5}{2}，-2]$
• C． [-2，0）
• D． [-2，0]

Answer 1

分析 根据函数的单调性，通过讨论a的范围判断函数值的大小，从而确定a的具体范围即可．

解答 解：函数f（0）在（-∞，0]、（0，+∞）均单调递增，
且$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
当f（a）≥0，即a≥-2时，则f[f（a）]＜f[f（a）+1]，不合题意；
同理：当f（a）+1≤0，即$a≤-\frac{5}{2}$时，也不合题意．
当f（x₁）＞f（x₂）时，-1＜f（a）＜0，0＜f（a）+1＜1，
则2＜f[f（a）]＜4，1＜f[f（a）+1]＜2，成立．
故选：A．

点评 本题考查了函数求值问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．