Question

18．已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a²+ab，则2a+b的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a²+ab，可得b=$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a²+ab，∴b=$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$＞0，解得1＜a＜3．
则2a+b=2a+$\frac{{a}^{2}-3a}{1-a}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3≥2$\sqrt{（a-1）•\frac{2}{a-1}}$+3=2$\sqrt{2}$+3，当且仅当a=1+$\sqrt{2}$，b=1时取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．