Question

8．已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R；
（1）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）=bx+5-2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使得g（x₁）=f（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在[-1，1]上单调递减且存在零点可得f（-1）f（1）≤0，从而解出a的范围；
（2）对b进行讨论，判断g（x）的单调性，分别求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式组得出b的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，
∵函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，
∴f（-1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，
解得：-8≤a≤0．
（2）a=3时，f（x）=x²-4x+6，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．
即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．
设g（x）在[1，4]上的值域为M，
∵对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴M⊆[2，6]．
当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，
当b＞0时，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是增函数，
∴M=[5-b，5+2b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-b≥2}\\{5+2b≤6}\\{b＞0}\end{array}\right.$，解得0＜b≤$\frac{1}{2}$．
当b＜0时，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是减函数，
∴M=[5+2b，5-b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+2b≥2}\\{5-b≤6}\\{b＜0}\end{array}\right.$，解得-1≤b＜0．
综上，b的取值范围是$[-1，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了二次函数的单调性判断，值域计算，零点的存在性定理，分类讨论思想，属于中档题．