Question

18．（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）由扇形的面积公式及周长公式建立方程组，解方程即可求出．
（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r，由基本不等式可得．

解答 解：（1）设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，
由题意可得：2r+l=10，$\frac{1}{2}$×l×r=4，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{r=4}\\{l=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=1}\\{l=8}\end{array}\right.$．
故扇形中心角的弧度数为$α=\frac{l}{r}$=$\frac{1}{2}$，或8（由于8＞2π，舍去）．
（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得2r+l=40，
∴扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r≤$\frac{1}{4}$（$\frac{l+2r}{2}$）2=100，
当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，
此时圆心角为α=$\frac{l}{r}$=2，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．

点评 本题考查扇形的面积公式及周长公式，考查基本不等式，属基础题．