Question

7．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，-1＜x≤1}\\{f（{x-2}），1＜x＜3}\end{array}}\right.$，若函数f（x）在x=x₀处的切线与函数f（x）的图象恰好只有3个公共点，则x₀的取值范围是$（{0，3-2\sqrt{2}}）∪（{2\sqrt{2}-1，2}）$．

Answer 1

分析 求出当1＜x＜3时，f（x）的解析式，画出函数f（x）在（-1，3）的图象，设出切点，讨论当0＜x₀＜1，当1＜x₀＜2时，分别求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（3，1），（-1，1），解方程，结合图象和题意，即可得到所求取值范围．

解答 解：当1＜x＜3时，-1＜x-2＜1，
f（x）=f（x-2）=（x-2）²，
画出y=f（x）在（-1，3）的图象，
可得函数f（x）在x=0处的切线与函数f（x）的图象有两个交点，
当0＜x₀＜1时，切点为（x₀，x₀²），
y=x²的导数为y′=2x，
设切线方程为y=2x₀x+m，
代入切点，可得x₀²=2x₀²+m，即m=-x₀²，
则切线方程为y=2x₀x-x₀²，
当切线经过点（3，1）时，1=6x₀-x₀²，
解得x₀=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去），
由题意可得当0＜x₀＜3-2$\sqrt{2}$时，切线与y=f（x）的图象恰有三个交点；
当1＜x₀＜2时，切点为（x₀，（x₀-2）²），
y=（x-2）²的导数为y′=2（x-2），
设切线方程为y=2（x₀-2）x+n，
代入切点，可得（x₀-2）²）=2（x₀-2）x₀+n，即n=4-x₀²，
则切线方程为y=2（x₀-2）x+4-x₀²，
当切线经过点（-1，1）时，1=-2（x₀-2）+4-x₀²，
解得x₀=-1+2$\sqrt{2}$（-1-2$\sqrt{2}$舍去），
由题意可得当-1+2$\sqrt{2}$＜x₀＜2时，切线与y=f（x）的图象恰有三个交点．
综上可得x₀的取值范围是（0，3-2$\sqrt{2}$）∪（-1+2$\sqrt{2}$，2）．
故答案为：（0，3-2$\sqrt{2}$）∪（-1+2$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式和图象的作法，以及数形结合的思想方法，运算化简能力，属于中档题．