Question

12．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点，且椭圆C过点P（2，1），若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的性质求出c=$\sqrt{6}$，得出a²=b²+c²=b²+6，将P（1，2）代入椭圆方程求得a和b，即得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）根据题意，设直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得△OAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦点为（±$\sqrt{6}$，0），
即椭圆标准方程中c=$\sqrt{6}$，
a²=b²+c²=b²+6，
将P（2，1）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+6}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，
得$\frac{4}{{b}^{2}+6}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解得：b²=2，a²=8，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ） 由直线l平行于OP，且k_OP=$\frac{1}{2}$，
设直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得x²+2mx+2m²-4=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x₁+x₂=2m²-4，
由l与椭圆C有不同的两点，则△＞0，
即△=4m²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0，
又|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{{4m}^{2}-4（{2m}^{2}-4）}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{4{-m}^{2}}$，
点O到直线l的距离为
d=$\frac{|m|}{\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$，
∴△OAB的面积为
S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=|m|•$\sqrt{4{-m}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}（4{-m}^{2}）}$≤$\frac{{m}^{2}+（4{-m}^{2}）}{2}$=2，
当且仅当m²=4-m²，即m=±$\sqrt{2}$时取等号，
此时△OAB的面积最大，且最大值为2．

点评 本题考查了椭圆方程的求法以及求三角形面积的最大值和直线方程的求法，韦达定理以及基本不等式的性质应用问题，是综合性题目．