Question

2．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，D，E分别是BB₁和AB的中点．
（1）证明：AD⊥平面A₁EC；
（2）求点B₁到平面A₁EC的距离．

Answer 1

分析 （1）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AD⊥平面A₁EC．
（2）求出$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（1，0，2），平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{AD}$=（2，0，1），利用向量法能求出点B₁到平面A₁EC的距离．

解答 证明：（1）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，
过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（-1，0，0），D（1，0，1），A₁（-1，0，2），
E（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AD}$=（2，0，1），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
∵$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=-2+2=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EC}$=0，
∴AD⊥EA₁，AD⊥EC，
∵EA₁∩EC=E，∴AD⊥平面A₁EC．
解：（2）B₁（1，0，2），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（1，0，2），
∵AD⊥平面A₁EC，
∴平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{AD}$=（2，0，1），
∴点B₁到平面A₁EC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{E{B}_{1}}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．