Question

13．已知椭圆E的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，在椭圆E上有一动点A与F₁、F₂的距离之和为4，
（Ⅰ） 求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 过A、F₁作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，在椭圆E上有一动点A与F₁、F₂的距离之和为4，列出方程组，求出a=2，b=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）由F₁（-1，0），令直线AB的方程为x=my-1，联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+4{y^2}-12=0}\\{x=my-1}\end{array}}\right.$，得（3m²+4）y²-6my-9=0，由此利用韦达定理、直线垂直的性质，结合已知条件能求出四边形ABCD不能是菱形．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，
在椭圆E上有一动点A与F₁、F₂的距离之和为4，
∴由条件得a=2c，2a=4，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$-------------（4分）
（Ⅱ）∵F₁（-1，0），如图，直线AB不能平行于x轴，
∴令直线AB的方程为x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+4{y^2}-12=0}\\{x=my-1}\end{array}}\right.$，得（3m²+4）y²-6my-9=0，…（6分）
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．…（7分）
若四边形ABCD是菱形，则OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
于是有x₁•x₂+y₁•y₂=0，…（9分）
又x₁•x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁•y₂-m（y₁+y₂）+1，
所以有（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0，
得到$\frac{-12{m}^{2}-5}{3{m}^{2}+4}$=0，----------------（11分）
这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形形是否为菱形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用．