Question

3．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n=a_n-1²+a_n-1（n≥2且n∈N）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；并证明：2${\;}^{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$≤a_n≤$\frac{1}{2}$•3${\;}^{{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）设数列{a_n²}的前n项和为A_n，数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}的前n项和为B_n，证明：$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{3}{2}$a_n+1．

Answer 1

分析 （I）分别令n=2，3即可计算a₂，a₃，配方得a_n+$\frac{1}{2}$＞（a_n-1+$\frac{1}{2}$）²，利用{a_n+$\frac{1}{2}$}的增减性得出不等式2${\;}^{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$≤a_n，利用{a_n}增减性得出a_n≤$\frac{1}{2}$•3${\;}^{{2}^{n-1}}$；
（II）分别使用因式分解和裂项法计算A_n，B_n，即可得出结论．

解答 解：（I）a₂=a₁²+a₁=$\frac{9}{4}+\frac{3}{2}$=$\frac{15}{4}$，
a₃=a₂²+a₂=$\frac{225}{16}+\frac{15}{4}$=$\frac{285}{16}$．
证明：∵a_n=a_n-1²+a_n-1，
∴a_n+$\frac{1}{2}$=a_n-1²+a_n-1+$\frac{1}{2}$=（a_n-1+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$＞（a_n-1+$\frac{1}{2}$）²，
∴a_n+$\frac{1}{2}$＞（a_n-1+$\frac{1}{2}$）²＞（a_n-2+$\frac{1}{2}$）⁴＞＞（a_n-3+$\frac{1}{2}$）⁸＞…＞（a₁+$\frac{1}{2}$）${\;}^{{2}^{n-1}}$=2${\;}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n＞2${\;}^{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$，
又∵a_n-a_n-1=a_n-1²＞0，∴a_n＞a_n-1＞a_n-2＞…＞a₁＞1，
∴a_n²＞a_n，
∴a_n=a_n-1²+a_n-1＜2a${\;}_{n-1}^{2}$，
∴a_n＜2a${\;}_{n-1}^{2}$＜2•2²${a}_{n-2}^{4}$＜2•2²•2⁴${a}_{n-3}^{8}$＜…＜2•2²•2⁴•…•2${\;}^{{2}^{n-2}}$a₁${\;}^{{2}^{n-1}}$
=2${\;}^{{2}^{n-1}-1}$•（$\frac{3}{2}$）${\;}^{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$•3${\;}^{{2}^{n-1}}$．
综上，2${\;}^{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$≤a_n≤$\frac{1}{2}$•3${\;}^{{2}^{n-1}}$．
（II）证明：∵a_n=a_n-1²+a_n-1，∴a_n-1²=a_n-a_n-1，
∴A_n=a₁²+a₂²+a₃²+…a_n²=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n+1-a_n）=a_n+1-$\frac{3}{2}$，
∵a_n=a_n-1²+a_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴B_n=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+$…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$）+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{4}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
∴$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{{a}_{n+1}}}$=$\frac{3}{2}{a}_{n+1}$．

点评 本题考查了数列增减性的判断与应用，数列求和，将递推公式合理变形化出要求的形式是解题的难点．