Question

5．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+ωx）•sin（$\frac{3}{2}$π-ωx）-cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f（$\frac{4π}{3}$）的值．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+ωx）•sin（$\frac{3}{2}$π-ωx）-cos²ωx=）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx-\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．由最小正周期得ω
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
 cosB、B，再求f（A）的取值范围

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+ωx）•sin（$\frac{3}{2}$π-ωx）-cos²ωx=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx-\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
∵最小正周期为T=π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，⇒ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$
∴f（$\frac{4π}{3}$）=sin（2×$\frac{4π}{3}-\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA．
∵sinA＞0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$．
∴A$∈（0，\frac{2π}{3}）$，2A-$\frac{π}{6}$$∈（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）$∈（-\frac{1}{2}，1]$．
f（A）的取值范围：（-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了三角恒等变形，解三角形，属于中档题．