Question

2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点，∠ADP=45°．
（1）求证：AF∥平面PCE．
（2）求证：平面PCD⊥平面PCE．
（3）若AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离．

Answer 1

分析 （1）设M为PC中点，连接ME、MF．推导出四边形AEMF为平行四边形，从而AF∥ME，由此能证明AF∥平面PCE．
（2）推导出△PAD为等腰直角三角形，AF⊥PD，AF⊥CD，从而AF⊥平面PCD．由此能证明平面PCE⊥平面PCD．
（3）过点F作FG⊥PC，交PC于G，FG为点F到平面PCE的距离，由此能求出结果．

解答 证明：（1）设M为PC中点，连接ME、MF．
则MF∥$\frac{1}{2}$CD，MF=$\frac{1}{2}$CD，AE∥$\frac{1}{2}$CD，AE=$\frac{1}{2}$CD
∴MF∥AE，MF=AE∴四边形AEMF为平行四边形．…（2分）
∴AF∥ME，又∵ME?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE．…（4分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，∵PF=FD，
∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．…（6分）
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥AD，CD?平面ABCD．
∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD，
又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD．
∵EM∥AF，
∴EM⊥平面PCD．
∵EM?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD．…（8分）
解：（3）过点F作FG⊥PC，交PC于G，
∵平面PCE⊥平面PCD，∴FG⊥平面PCE，即FG为点F到平面PCE的距离．…（10分）
在Rt△PCD中，PD=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{17}$．
∵△PFG∽△PCD，∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{FG}{CD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{FG}{3}$
∴点F到平面PCE的距离FG=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．