Question

11．如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$于点A，B，C，D四点，则9|AB|+4|CD|的最小值为$\frac{37}{2}$．

Answer 1

分析 求出||AB|=x_A+$\frac{1}{2}$，|CD|=x_D+$\frac{1}{2}$，当l⊥x轴时，则x_D=x_A=1，9|AB|+4|CD|=$\frac{39}{2}$．当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，9|AB|+4|CD|=$\frac{13}{2}+9{x}_{A}+4{x}_{D}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{4×9{x}_{A}{x}_{D}}=\frac{37}{2}$．

解答 解：∵y²=4x，焦点F（1，0），准线 l₀：x=-1
由定义得：|AF|=x_A+1，
又∵|AF|=|AB|+$\frac{1}{2}$，∴|AB|=x_A+$\frac{1}{2}$
同理：|CD|=x_D+$\frac{1}{2}$，
当l⊥x轴时，则x_D=x_A=1，∴9|AB|+4|CD|=$\frac{39}{2}$．
当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_Ax_D=1，x_A+x_D=1，
∴9|AB|+4|CD|=$\frac{13}{2}+9{x}_{A}+4{x}_{D}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{4×9{x}_{A}{x}_{D}}=\frac{37}{2}$．
综上所述4|AB|+9|CD|的最小值为$\frac{37}{2}$．
故答案为：$\frac{37}{2}$．

点评 本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题